Question

如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：几何图形问题,压轴题

分析：作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用

AP

AC

=

BP

AP

，得出y=

1

8

x²，所以x-y=x-

1

8

x²=-

1

8

x²+x=-

1

8

（x-4）²+2，当x=4时，x-y有最大值是2．

解答：解：如图，作直径AC，连接CP，

∴∠CPA=90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴

AP

AC

=

PB

PA

，
∵PA=x，PB=y，半径为4，
∴

x

8

=

y

x

，
∴y=

1

8

x²，
∴x-y=x-

1

8

x²=-

1

8

x²+x=-

1

8

（x-4）²+2，
当x=4时，x-y有最大值是2，
故答案为：2．

点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．