Question

14．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}$，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利用勾股定理得（2-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²，解得x=$\frac{7}{4}$，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．

解答 解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}$，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，
∴EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，
在Rt△BEF中，（2-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²，解得x=$\frac{7}{4}$，
在Rt△DEH中，DH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$，HE=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AEH中，AE=$\sqrt{（2+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AO=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{（\frac{7}{4}）^{2}-（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
∴cos∠AFO=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{4}}{\frac{7}{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．