Question

19．抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y=$\frac{3}{5}$x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有$\frac{NQ}{CQ}=\frac{PM}{BM}$或$\frac{NQ}{CQ}$=$\frac{BM}{PM}$两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{25a+5b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，
∴该抛物线对应的函数解析式为y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+3；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，$\frac{3}{5}$t+3），
∴PN=$\frac{3}{5}$t+3-（$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3）=-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{147}{20}$
联立直线CD与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{5}x+3}\\{y=\frac{3}{5}{x}^{2}-\frac{18}{5}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=\frac{36}{5}}\end{array}\right.$，
∴C（0，3），D（7，$\frac{36}{5}$），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，

则CE=t，DF=7-t，
∴S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN=$\frac{1}{2}$PN•CE+$\frac{1}{2}$PN•DF=$\frac{7}{2}$PN=$\frac{7}{2}$[-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{147}{20}$]=-$\frac{21}{10}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{1029}{40}$，
∴当t=$\frac{7}{2}$时，△PCD的面积有最大值，最大值为$\frac{1029}{40}$；
②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有$\frac{NQ}{CQ}=\frac{PM}{BM}$或$\frac{NQ}{CQ}$=$\frac{BM}{PM}$两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，$\frac{3}{5}$t+3），
∴CQ=t，NQ=$\frac{3}{5}$t+3-3=$\frac{3}{5}$t，
∴$\frac{CQ}{NQ}$=$\frac{3}{5}$，
∵P（t，$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5-t，PM=0-（$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3）=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{18}{5}$t-3，
当$\frac{NQ}{CQ}=\frac{PM}{BM}$时，则PM=$\frac{3}{5}$BM，即-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{18}{5}$t-3=$\frac{3}{5}$（5-t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，-$\frac{9}{5}$）；
当$\frac{NQ}{CQ}$=$\frac{BM}{PM}$时，则BM=$\frac{3}{5}$PM，即5-t=$\frac{3}{5}$（-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{18}{5}$t-3），解得t=$\frac{34}{9}$或t=5（舍去），此时P（$\frac{34}{9}$，-$\frac{55}{27}$）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，-$\frac{9}{5}$）或（$\frac{34}{9}$，-$\frac{55}{27}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标表示出△PCD的面积是解题的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．