Question

以一底角为67.5°的等腰梯形的一腰BC为直径作圆，交大底于E，且恰与另一腰AD相切于M，则=________．

Answer 1

分析：连OM，OE，ME，由AD为⊙O的切线，得到OM⊥AD，而四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC=67.5°，则∠OEB=∠OBA=∠A=67.5°，得到OE∥AD，有OE⊥OM，得到△OEM为等腰直角三角形；设OE=R，则ME=R，然后证明△OBE∽△MEB，利用相似比即可得到答案．
解答：解：连OM，OE，ME，如图，
∵AD为⊙O的切线，
∴OM⊥AD，
又∵四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC=67.5°，
而OE=OB，
∴∠OEB=∠OBA=∠A=67.5°，
∴OE∥AD，
∴OE⊥OM，
∴△OEM为等腰直角三角形，
设OE=R，则ME=R，
又∵∠BOE=180°-67.5°-67.5°=45°，
∠EMA=90°-45°=45°，
∴△OBE∽△MEA，
∴===．
故答案为：．
点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了等腰梯形和切线的性质以及等腰直角三角形的性质．