Question

某种植基地对去年瓜果生产基地的甲、乙两种瓜果的生产销售进行了统计，发现去年1至12月每千克甲种瓜果的销售价格y₁（元）与月份x（1≤x≤12，x为整数）之间存在如图所示变化趋势，每千克乙种瓜果销售价格y₂（元）与月份x（1≤x≤12，x为整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	…
销售价格y2（元）	7.75	7.5	7.25	7	…

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₂与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，求出y₁与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年每千克甲种瓜果生产成本为2.5元，每千克乙种瓜果生产成本为2元，且去年1至12月甲种瓜果销售量p₁（万千克）与月份x满足关系式p₁=0.2x+1（1≤x≤12，x为整数），去年1至12月乙种瓜果销售量p₂（万千克）与月份x满足关系式p₂=0.4x+0.8（1≤x≤12，x为整数），求去年上半年哪一个月同时出售甲、乙两种瓜果的总利润最大？并求出其最大利润；
（3）预计今年1至5月，受物价上涨因素的影响，该基地甲种瓜果生产成本每千克比去年增加20%，乙种瓜果的生产成本每千克比去年增加1元，而甲种瓜果每千克售价在去年12月份的基础上提高m%，乙种瓜果每千克售价在去年12月份的基础上提高1.2m%，与此同时，每月甲种瓜果的销售量均在去年12月份的基础上减少3m%，每月乙种瓜果的销售量均在去年12月份的基础上减少了2m%，这样，预计今年1至5月销售乙种瓜果获得的总利润比1至5月销售甲种瓜果获得的总利润多40万元，请参考以下数据，估算m的整数值（m≤10）．
（参考数据：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

Answer 1

（1）设y₁与x之间的函数关系式为y₁=k₁x+b₁和y₂与x之间的函数关系式为y₂=k₂x+b₂，根据条件得：

7=6k1+b1 4=12k1+b1

，

7.75=k2+b2 7.5=2k2+b2

，
解得：

k1=- 1 2 b1=10

，

k2=- 1 4 b2=8

，
∴y₁=-

1

2

x+10，y₂=-

1

4

x+8；
（2）由题意，得
W=（y₁-2.5）p₁+（y₂-2）p₂，
=（-

1

2

x+10-2.5）（0.2x+1）+（-

1

4

x+8-2）（0.4x+0.8），
=-

1

5

x²+

16

5

x+

123

10

，
=-

1

5

（x-8）²+

251

10

，
∵a=-

1

5

＜0，
∴抛物线的开口向下，函数由最大值，在抛物线的左侧W随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴为x=8，
∴当x=8时，W最大值=

251

10

．
∵1≤x≤6，
∴x=6时，W=

243

10

万元，
∴在上半年的6月份同时出售甲、乙两种瓜果的总利润最大，最大值为

243

10

万元；
（3）由题意得：
甲种瓜果今年1月份的成本为：2.5（1+20%）=3元，
售价为：4（1+m%）元，
销量为：（0.2×12+1）（1-3m%），
乙种瓜果1月份的成本为：2+1=3元，
售价为：（-

1

4

×12+8）（1+1.2m%）=5（1+1.2m%），
销量为：（0.4×12+0.8）（1-2m%）=5.6（1-2m%），
∴5[5（1+1.2m%）-3][5.6（1-2m%）]-5[4（1+m%）-3][3.4（1-3m%）]=40，
设m%=a，则有
5[5（1+1.2a）-3][5.6（1-2a）]-5[4（1+a）-3][3.4（1-3a）]=40，
整理，得
132a2-39a+1=0，
∴a=

39± 392-4×132×1

264

，
=

39± 993

264

．
∵32²=1024，
∴a=

39±32

264

，
∴a₁≈0.2689，a₂≈0.0265，
∴m%=0.2689或m%=0.0265，
∴m₁=26.89，m₂=2.65．
∵m是整数（m≤10）．
∴m=3．
答：m的整数值为3．