Question

5．如图，直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S_△PAC=$\frac{2}{5}$S_△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法即可得到结论；
（2）根据图象中的信息即可得到结论；
（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=-x+5，反比例函数的表达式为：$y=\frac{4}{x}$列方程$-x+5=\frac{4}{x}$，求得B（4，1），于是得到${S_{△AOB}}={S_{四边形ANMB}}=\frac{1}{2}（AN+BM）MN=\frac{1}{2}（1+4）×3=\frac{15}{2}$，由已知条件得到${S_{△PAC}}=\frac{2}{5}×\frac{15}{2}=3$，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

解答 解：（1）将A（1，4）分别代入y=-x+b和$y=\frac{k}{x}$
得：4=-1+b，4=$\frac{k}{1}$，解得：b=5，k=4；

（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，

（3）过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，
由（1）知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=-x+5，反比例函数的表达式为：$y=\frac{4}{x}$
由$-x+5=\frac{4}{x}$，解得：x=4，或x=1，
∴B（4，1），
∴${S_{△AOB}}={S_{四边形ANMB}}=\frac{1}{2}（AN+BM）MN=\frac{1}{2}（1+4）×3=\frac{15}{2}$，
∵${S_{△PAC}}=\frac{2}{5}{S_{{△_{AOB}}}}$，
∴${S_{△PAC}}=\frac{2}{5}×\frac{15}{2}=3$，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$OP•CD+$\frac{1}{2}$OP•AE=$\frac{1}{2}$OP（CD+AE）=|t|=3，
解得：t=3，t=-3，
∴P（0，3）或P（0，-3）．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．