Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，直角边的长为2，把点A沿MN折叠，点A恰好与BC边的中点D重合，则重叠部分即△MND的面积=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：设AD与MN交于点P，作DE⊥AB于E．先在等腰直角三角形△ABC中，利用勾股定理求出AB=2

2

，根据折叠的性质及已知条件得到MN垂直平分AD，△AMN≌△DMN，CD=BD=1，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD=

AC2+CD2

=

5

，于是AP=DP=

5

2

．再证明△APM∽△ACD，由相似三角形对应边成比例求出PM=

5

4

，由△BED为等腰直角三角形，得出BE=DE=

2

2

BD=

2

2

，则AE=AB-BE=

3 2

2

，由△APN∽△AED，根据相似三角形对应边成比例求出PN=

5

6

，于是MN=PM+PN=

5 5

12

，然后根据△MND的面积=

1

2

MN•DP，代入数值计算即可求解．

解答：解：如图，设AD与MN交于点P，作DE⊥AB于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=2

2

．
∵把点A沿MN折叠，点A恰好与BC边的中点D重合，
∴MN垂直平分AD，△AMN≌△DMN，CD=BD=1．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，AC=2，CD=1，
∴AD=

AC2+CD2

=

5

，
∴AP=DP=

5

2

．
 在△APM与△ACD中，

∠PAM=∠CAD ∠APM=∠C=90°

，
∴△APM∽△ACD，
∴

PM

CD

=

AP

AC

，即

PM

1

=

5 2

2

，
解得PM=

5

4

．
在Rt△BED中，∵∠BED=90°，∠B=45°，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴BE=DE=

2

2

BD=

2

2

，
∴AE=AB-BE=2

2

-

2

2

=

3 2

2

．
在△APN与△AED中，

∠PAN=∠EAD ∠APN=∠AED=90°

，
∴△APN∽△AED，
∴

PN

ED

=

AP

AE

，即

PN

2 2

=

5 2

3 2 2

，
解得PN=

5

6

，
∴MN=PM+PN=

5

4

+

5

6

=

5 5

12

，
∴△MND的面积=

1

2

MN•DP=

1

2

×

5 5

12

×

5

2

=

25

48

．
故答案为

25

48

．

点评：本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线，求出PM与PN的长是解题的关键．