Question

3．如图，在⊙0中，弦AB⊥直径CD，垂足为M．若0M=MD，连AC、BC，
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）过M作AC的平行线交⊙0于T，若⊙0半径为4．如图，求TM的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得出AM=MB，根据垂直平分线的性质得出AC=BC，连接OA，OB，根据OA=OD=2OM，得出∠OAM=30°，进而得出∠AOD=60°，∠AOB=120°，根据圆周角和圆心角的关系即可求得∠ACB=60°，从而证得△ABC是等边三角形．
（2）连接OT，作ON⊥MT于N，根据平行线的性质得出∠TMB=∠A=60°，得出∠OMN=90°-60°=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得ON=1，然后根据勾股定理即可求得TM的长．

解答 （1）证明：如图1，∵弦AB⊥直径CD，
∴AM=MB，
∴AC=BC，
连接OA，OB，
∵0M=MD，
∴OA=OD=2OM，
∴∠OAM=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：如图2，连接OT，作ON⊥MT于N，
∵⊙0半径为4，
∴OM=MD=2，
∵MT∥AC，
∴∠TMB=∠A=60°，
∴∠OMN=90°-60°=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OM=1，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，NT=$\sqrt{O{T}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴TM=MN+NT=$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．