Question

如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax₂+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）过B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+x，

把B（3，1）代入y=（k≠0）得：1=，

解得：k=3，

∴双曲线的解析式为：y=．

 

（2）∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），设直线BC为y=kx+b，

∴，

解得k=1，b=﹣2，

∴直线BC为：y=x﹣2，

∴与坐标轴的交点（2，0），（0，﹣2），

过O作OM⊥BC，则OM=，

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴OB=OC=，

∴BM=2，

∴tan∠COM===2，

∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，

∴∠POE=∠COM，

∴tan∠POE=2，

∵P点是抛物线上的点，设P（m，﹣m²+m），

∴=2，

解得：m=，

∴P（，1），

 

（3）∵直线CO过C（﹣1，﹣3），

∴直线CO的解析式为y=3x，

解，

解得，

∴D（1，3），

∵B（3，1），

∴直线OB的斜率=，

∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，

∴DF∥OB，

∴直线l的斜率=﹣3，直线DF的斜率=，

∵直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），

∴直线l的解析式为y=﹣3x+10，直线DF解析式为y=x+，

解，

解得，

∴F（，），

∴DF==，

∵DF∥OB，OB=，

∴===．