Question

【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上，

∴ ，

解得 ．

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣6x+5．

（2）

解：

设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣3

∴M（﹣3，0），N（0，﹣6），

∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3 ，

∴tan∠MNO= = ，sin∠MNO= = ．

设点C坐标为（x，y），则y=x2﹣6x+5．

过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．

过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，

在Rt△CDF中，DF=CDtan∠MNO= x，CF= = = x．

∴FN=DN﹣DF=6+y﹣ x．

在Rt△EFN中，EF=FNsin∠MNO= （6+y﹣ x）．

∴CE=CF+EF= x+ （6+y﹣ x），

∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x2﹣6x+5，代入上式整理得：

CE= （x2﹣4x+11）= （x﹣2）2+ ，

∴当x=2时，CE有最小值，最小值为 ．

当x=2时，y=x2﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．

△ABC的最小面积为： ABCE= ×2× = ．

∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为 ．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．