Question

13．在平面直角坐标系中，点P（m²-n²，$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$）满足m+n=4mn时，就称点P为“曲点”．若两个“曲点”A，B横坐标分别为a和2a，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 根据点P的横纵坐标特点找出当点P为“曲点”时，横纵坐标之积为4，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，延长CA、DB交于点E，利用分割图形法结合矩形和三角形的面积即可得出结论．

解答 解：∵m+n=4mn，
∴$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$=$\frac{1}{mn（m-n）}$=$\frac{4}{（m+n）（m-n）}$=$\frac{4}{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
∴（m²-n²）•$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$=4，
∵点P（m²-n²，$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$）满足m+n=4mn时，就称点P为“曲点”，
∴“曲点”的横纵坐标之积为4．
过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，延长CA、DB交于点E，如图所示．
∵两个“曲点”A，B横坐标分别为a和2a，
∴A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），
∴E（2a，$\frac{4}{a}$），
∴S_△OAB=OD•OC-S_△OAC-S_△OBD-S_△ABE=|2a|•|$\frac{4}{a}$|-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$|2a-a|•|$\frac{4}{a}$-$\frac{2}{a}$|=3．

点评 本题考查了坐标与图形性质、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积，解题的关键是找出“曲点”所在图形的函数解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据“曲点”的定义找出“曲点”所在图形的函数解析式是关键．