Question

（2013•乐清市模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=5，AD=1，E是AB所在直线上的一个动点，当
AE=

9或

4

5

或

5+ 5

2

或

5- 5

2

时，△CDE是直角三角形．

Answer 1

分析：建立坐标系，则A的坐标是（0，5），C的坐标是（5，0），D的坐标是（1，5）．分C、D、E分别是直角顶点三种情况进行讨论，当C是直角顶点时，求得CE的解析式，求得E的坐标即可求得AE的长，同理求得当D是直角顶点时AE的长，当E是直角顶点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得E的坐标，进而求得AE的长．

解答：解：如图建立坐标系，则A的坐标是（0，5），C的坐标是（5，0），D的坐标是（1，5）．
设直线CD的解析式是y=kx+b，则

k+b=5 5k+b=0

，
解得：

k=- 5 4 b= 25 4

，
则CD的解析式是：y=-

5

4

x+

25

4

，
在直角△CDE中，当C是直角顶点时，设CE的坐标是：y=

4

5

x+a，把C的坐标代入得：4+a=0，解得：a=-4，则CE的解析式是y=

4

5

x-4，令x=0，解得：y=-4，则E的坐标是（0，-4），则AE=9；
同理，当D是直角顶点时，设DE的坐标是：y=

4

5

x+b，把D的坐标代入得：

4

5

+b=5，解得：a=

21

5

，则DE的解析式是y=

4

5

x+

21

5

，令x=0，解得：y=

21

5

，则E的坐标是（0，

21

5

），则AE=

4

5

；
当E是直角顶点时，CD=

52+(5-1)2

=

41

，CD的中点是（3，

5

2

），设E的坐标是（0，c），
则

32+(c- 5 2 )2

=

1

2

×

41

，
解得：c=

5± 5

2

，
故E的坐标是（0，

5+ 5

2

）或（0，

5- 5

2

），
则AE=

5+ 5

2

或

5- 5

2

．
故答案是：9或

4

5

或

5+ 5

2

或

5- 5

2

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直角三角形的性质，正确求得当E是直角三角形的直角顶点时E的坐标是关键．