Question

3．某校初三数学社团成员一起研究二次函数．他们发现一个二次函数的图象具有以下性质：①它是一个轴对称图形，②图象经过原点，③在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，④经过点A（3，9）
（1）写出该抛物线的解析式；
（2）该抛物线上有两个不同的点P、Q，设点P的横坐标为m（m＞0），取OP的中点
M，当m在一定的范围内，总有∠PMQ=2∠MOQ．
①若点P与点A重合，求点Q的横坐标； ②求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点M关于直线PQ的对称点N恰好落在y轴上，求此时m的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据二次函数的图象经过原点，设该抛物线的解析式是y=ax²+bx；然后根据在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，可得对称轴是y轴，据此判断出b=0；最后根据二次函数的图象经过点A（3，9）求出该抛物线的解析式即可．
（2）①结合已知条件∠PMQ=2∠MOQ和三角形外角定理得到：△MOQ是等腰三角形，所以由二次函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式进行解答即可；
②由①知，PQ⊥OQ，利用两条垂直直线斜率的关系来求m的取值范围；
（3）根据对称的性质得到MN⊥PQ，由平行线的判定定理得到MN∥QO，则根据点N位于y轴和（2）中m的取值范围得到：m=2．

解答 解：（1）∵二次函数的图象经过原点，
∴设该抛物线的解析式是y=ax²+bx，
又∵在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴对称轴是y轴，
∴b=0，
∴该抛物线的解析式是y=ax²，
∵二次函数的图象经过点A（3，9）
∴9a=9，a=1，
∴该抛物线的解析式是y=x²．

（2）如图1，∵A（3，9），点P与点A重合，点M是OP的中点，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
∵∠PMQ=∠MOQ+∠MQO，∠PMQ=2∠MOQ．
∴∠MOQ+∠MQO=2∠MOQ，
∴∠MOQ=∠MQO，
∴OM=MQ．
设Q（a，a²），（a≠0，且a≠3）
①由两点间的距离公式得到：（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{9}{2}$）²=（a-$\frac{3}{2}$）²+（a²-$\frac{9}{2}$）²，
整理，得
a（a³-8a-3）=0，
解得a₁=0（舍去），a₂=3（舍去），a₃=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，
∴点Q的横坐标是$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$；
②由①知，OM=OQ．
∵OM=PM，
∴QM是边OP的中线，且QM=$\frac{1}{2}$OP，
∴△OPQ是直角三角形，且PQ⊥OQ，
则k_PQ×k_QO=-1，
∴$\frac{a（{m}^{2}-{a}^{2}）}{m-a}$=-1，若要a恒有解，则m≥2；

（3）如图2，∵点M与点N关于直线PQ对称，
∴MN⊥PQ．
又∵由（2）知，PQ⊥OQ，
∴MN∥QO，
又∵点N在y轴上，m≥2，
∴m=2．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称的性质、直角三角形的判定与性质以及两点间的距离公式等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．