Question

如图，半径为2的半圆O中有两条相等的弦AC与BD相交于点P．
（1）求证：PO⊥AB；
（2）若BC=1，求PO的长．

Answer 1

分析：（1）连接AD．因为AB是直径，所以△ABC、△ABD为直角三角形．根据“HL”判断它们全等，得∠BAC=∠ABD，从而PA=PB．根据等腰三角形性质得证；
（2）易证△AOP∽△ACB，运用相似三角形对应边成比例求解．

解答：（1）证明：连接AD．
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
∵AC=BD，AB=BA，
∴△ABC≌△ABD．
∴∠BAC=∠ABD，从而PA=PB．
∵O是AB中点，
∴PO⊥AB；（4分）

（2）解：∵∠AOP=∠ACB=90°，∠OAP=∠CAB，
∴△AOP∽△ACB．                                 （2分）
∴

OP

BC

=

AO

AC

．
∵AB=4，BC=1，∴AC=

42-12

=

15

．
∴OP=

2

15

=

2 15

15

．                                       （2分）

点评：此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，难度偏上．