Question

7．在平面直角坐标系xOy中，对于P（m，n），若点Q的坐标为（m，|m-n|），则称点Q为点P的关联点．
（1）请直接写出点（2，2）的关联点；
（2）如果点P在一次函数y=x-1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）已知点P在一次函数y=x（x＞0）和一次函数y=$\frac{1}{2}$x（x＞0）所围成的区域内，且点P的“关联点”Q在二次函数y=x²的图象上，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接根据关联点的定义可求得答案；
（2）设P（x，x-1），由关联点的定义表示出Q点的坐标，由Q与P重合可求得P点的坐标；
（3）设点P的坐标为（a，b），由题意可知：a＞0，b＞0且a＞b，2b＞a，然后得到点Q的坐标为（a，a-b），再列出PQ与a的函数关系式，最后利用配方法可求得PQ的最大值，以及点P的坐标．

解答 解：（1）点（2，2）的关联点的坐标为（2，|2-2|），即（2，0）．
（2）设P（x，x-1），则点P的关联点的坐标为（x，1）．
∵点P的“关联点”Q与点P重合，
∴x-1=1，解得x=2．
∴点P的坐标为（2，1）．
（3）设点P的坐标为（a，b）．
∵点P在一次函数y=x（x＞0）和一次函数y=$\frac{1}{2}$x（x＞0）所围成的区域内，
∴a＞0，b＞0且a＞b，2b＞a．
∴点P的“关联点”Q的坐标为（a，a-b）．
∵点Q在二次函数y=x²的图象上，
∴a-b=a²，整理得b=a-a²．
∵PQ=b-（a-b）=2b-a，
∴PQ=2（a-a²）-a=-2a²+a=-2（a-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$．
∴当a=$\frac{1}{4}$时，PQ有最大值，最大值为$\frac{1}{8}$．
把a=$\frac{1}{4}$代入b=a-a²得b=$\frac{3}{16}$．
∴点P的坐标为（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{16}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了关联点的定义，二次函数的性质，列出PQ的长与点P的横坐标之间的函数关系式是解题的关键．