Question

12．有A、B两只不透明的布袋，A袋中有四个除标号外其他完全相同的小球，标号分别为0、1、2、3；B袋中有三个除标号外其他完全相同的小球，标号分别为-2、-1、0．小明先从A袋中随机取出一小球，用m表示该球的标号，再从B袋中随机取出一球，用n表示该球的标号．
（1）若m、n分别表示数轴上两个点，请用树状图或列表的方式表示（m、n）的所有可能结果，并求这两个点之间的距离不大于3的概率；
（2）若在B袋中再加若干个标号为1的除标号外其他完全相同的小球，搅匀后，在A袋和B袋中各摸出一个球，若标号不相同的概率为$\frac{5}{6}$，则再加的标号为1的小球的个数为3．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意列表，然后由树状图即求得所有等可能的结果；
（2）设增加的标号为1的小球的个数为x，可知在A袋和B袋中各摸出一个球，共有4（3+x）种等可能结果，其中标号相同的结果数为1+x，根据标号相同的概率为$\frac{1}{6}$列出方程求解可得答案．

解答 解：（1）

n	0	1	2	3
-2	（0，-2）	（1，-2）	（2，-2）	（3，-2）
-1	（0，-1）	（1，-1）	（2，-1）	（3，-1）
0	（0，0）	（1，0）	（2，0）	（3，0）

两点间的距离分别为2，3，4，5，1，2，3，4，0，1，2，3，
所有等可能的结果为12种，其中距离不大于3的有9种，
∴P（不大于3）=$\frac{3}{4}$；

（2）设增加的标号为1的小球的个数为x，
则此时A袋中小球分别为0、1、2、3，B袋中小球分别为-2、-1、0、x个1，
∴在A袋和B袋中各摸出一个球，共有4×（3+x）种等可能结果，其中标号相同的结果数为1+x，
∵标号不相同的概率为$\frac{5}{6}$，
∴标号相同的概率为$\frac{1}{6}$，
则$\frac{1+x}{4（3+x）}$=$\frac{1}{6}$，
解得：x=3，
即增加的标号为1的小球的个数为3，
故答案为：3．

点评 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．