Question

2．△ABC内接于⊙O，已知∠ABC=∠ACB．
（1）如图（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）如图（2）点D是弧AC上一点，连接BD交AC于点G，连接CD，弦AE⊥BD，并且AE交BD于点F，交CD于点H，求证：BD+CD=2BF；
（3）如图（3）在（2）的条件下，BD经过圆心O，连接DE，OG=DH，S_△DEH=9$\sqrt{2}$，求OG的长．

Answer 1

分析 （1）如图（1），作两弦的弦心距OG和OH，由垂径定理得：AG=$\frac{1}{2}$AB，AH=$\frac{1}{2}$AC，所以AG=AH，再证明Rt△AGO≌Rt△AHO可得结论；
（2）如图（2），作辅助线，构建三角形全等，证明△ABF≌△ACD（AAS），得BF=CN，AF=AN，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AND，根据对应边相等DF=DN，可得结论；
（3）如图3中，连接AD、OH．只要证明△AOF，△DOH都是等腰直角三角形，∠E=∠HDE=22.5°即可解决问题．

解答 证明：（1）如图（1），过O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，

∴AG=$\frac{1}{2}$AB，AH=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC，
∴AG=AH，
∵AO=AO，
∴Rt△AGO≌Rt△AHO（HL），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO平分∠BAC；

（2）如图（2），过A作AN⊥CD，交CD的延长线于N，连接AD，

∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠ANC=90°，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（AAS），
∴BF=CN，AF=AN，
∵AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AND（HL），
∴DF=DN，
∴BD+CD=BF+DF+CD=BF+DN+CD=BF+CN=BF+BF=2BF；

（3）如图3中，连接AD、OH．

∵OA∥CD，
∴∠AOG=∠ODH，
在△AOG和△ODH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠ODH}\\{OG=DH}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△ODH，
∴∠OAG=∠DOH=∠DAH，
∵∠AFD=∠OFH，
∴△AFD∽△OFH，
∴$\frac{AF}{OF}$=$\frac{DF}{FH}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{OF}{FH}$，
∴△AFO∽△DFH，
∴∠OAF=∠FDH，
∵∠AOF=∠FDH，
∴∠FAO=∠FOA=45°，∠FDH=∠FHD=45°，
∴AF=OF=FE，DF=DH，
∴∠OAG=∠HAD，∠AOG=∠AHD，OG=DH，
∴△AOG≌△AHD，
∴AG=AD，∵AF⊥DG，
∴∠GAF=∠FAD=∠OAG=22.5°，
∴∠AED=∠HDE=22.5°，设DF=FH=a，则DH=HE=$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{1}{2}$•HE•DF=9$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}$a•a=9$\sqrt{2}$，
∴a=3$\sqrt{2}$，
∴AF=EF=OF=6+3$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径OD=6+6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，第三个问题的突破点是证明△AOF，△DOH都是等腰直角三角形，∠E=∠HDE=22.5°，属于中考压轴题．