Question

1．已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．
（1）如图1，如果点D是线段AB的中点，求CE：CF的值．
（2）如图2，如果AD：DB=1：2，
①求证：△ADE∽△BFD；
②求CE：CF的值．
（3）如果AD：DB=1：n，求CE：CF的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出EF∥AB，进而得出△CEF是等边三角形，即可得出结论；
（2）①由对称得出∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD，进而得出∠BDF=∠DEA即可得出结论；
②先表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，进而借助①的结论即可得出，$\frac{a}{b}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{x}{3x-b}$，处理即可得出结论；
（3）同（2）②的方法即可得出结论．

解答 解：（1）∵D是AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
∵EF⊥CD，
∴EF∥AB，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE=CF，
∴CE：CF=1：1；
（2）①∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD，
∵∠BDF+∠EDF=∠BDE=∠A+∠DEA，
∵∠EDF=∠A=60°，
∴∠BDF=∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
②设AD=x，CE=DE=a，CF=DF=b，
∵AD：BD=1：2，
∴DB=2x，
∴AB=3x=AC=BC，
∴AE=3x-a，BF=3x-b，
由①知，△ADE∽△BFD，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{EA}{DB}=\frac{AD}{BF}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{x}{3x-b}$，
由前两项得，2ax=b（3x-a），
由后两项得，（3x-a）（3x-b）=2x²，
即：3x（3x-a）-b（3x-a）=2x²，
∴3x（3x-a）-2ax=2x²，
∴a=$\frac{7}{5}$x，
∴$\frac{a}{b}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{4}{5}$，
∴CE：CF=4：5；
（3）设AD=x，CE=DE=a，CF=DF=b，
∵AD：DB=1：n，
∴AB=（n+1）x=AC=BC，
∴AE=（n+1）x-a，BF=（n+1）x-b，
同①的方法得，△ADE∽△BFD，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{EA}{DB}=\frac{AD}{BF}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{（n+1）x-a}{nx}=\frac{x}{（n+1）x-b}$，
由前两项得，nax=b[（n+1）x-a]，
由后两项得，[（n+1）x-a][（n+1）x-b]=nx²，
∴（n+1）[（n+1）x-a]-b[（n+a）-b]=nx²，
∴（n+1）[（n+1）x-a]-nax=nx²，
解得，a=$\frac{{n}^{2}+n+1}{2n+1}$x，
∴$\frac{a}{b}=\frac{（n+1）x-a}{nx}=\frac{n+2}{2n+1}$，
∴CE：CF=（n+2）：（2n+1）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，对称的性质，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是得出EF∥AB，解（2）的关键是得出∠BDF=∠DEA，难点是对$\frac{a}{b}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{x}{3x-b}$的处理，解（3）的关键是对$\frac{a}{b}=\frac{（n+1）x-a}{nx}=\frac{x}{（n+1）x-b}$的处理，是一道计算量比较大的题目．