Question

（2010•奉贤区一模）如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O分别相交于点E和点C，过点C作CD⊥AB，交AB于点F，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PC=PD；
（2）如果PE的长等于⊙O的半径，∠APC=20°，求∠AOC的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂径定理，易得CF=DF，即PA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质即可证得PC=PD；
（2）连接OE，则△COE、△OEP都是等腰三角形，即可求得∠OEP的度数，根据三角形的外角性质可求得∠OCE、∠OEC的度数；而∠APC是△OCP的外角，则∠AOC=∠OCP+∠OPC，由此得解．
解答：（1）证明：∵AB是直径，CD⊥AB（已知），
∴CF=DF（垂径定理）．（3分）
∴PC=PD（等腰三角形的“三合一”的性质）．（2分）

（2）解：连接OE，（1分）
∵PE=OE=OC，∠APC=20°（已知），
∴∠EOP=∠APC=20°（等角对等边），∠OCP=∠OEC=40°（三角形外角定理）．（2分）
∴∠AOC=∠OCP+∠APC=20°+40°=60°．（2分）
点评：此题主要考查了垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，综合性较强，难度适中．