Question

如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点．
（1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，=______；
（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时，=______；
（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，求的值，并说明理由．

Answer 1

解：（1）1；

（2）1；

（3）如图3，=1，
过点P作PN⊥AB，垂足N在AB的延长线上，PN交CQ于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易证△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠PBN=90°-∠BPN，
∴△PMQ≌△BNP，（ASA）
∴PQ=PB，
∴=1，
如图4，=1，
过点P作PN⊥AB，垂足N在BA的延长线上，PN的延长线交CQ于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易证△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠2=90°-∠BPN，
∴△BNP≌△PMQ（ASA），
∴PB=PQ，
∴=1．
分析：由图1、2可知过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出=1；证明图3、4可以仿照这种方法进行．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚正方形对角线上点的特点，正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题能力．