Question

5．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MAN=45°，AM，AN分别与对角线BD交于点E，F，若EM=$\sqrt{10}$，CM=2BM，则EF的长为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AC，根据正方形的性质得到∠ACM=∠ADF=∠CAD=45°，得到AC=$\sqrt{2}$AD，推出△MAC∽△FAD，根据相似三角形的性质得到AM=$\sqrt{2}$AF，设MB=x，则CM=2x，AB=3x，勾股定理AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，得到AF=$\sqrt{5}$x，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 证明：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACM=∠ADF=∠CAD=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$AD，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠CAD，
∴∠MAN-∠CAN=∠CAD-∠CAN，
∴∠MAC=∠FAD，
∴△MAC∽△FAD，
∴AN：AF=AC：AD，
∴AM：AF=$\sqrt{2}$：1，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，
∵CM=2BM，
∴设MB=x，则CM=2x，AB=3x，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴AF=$\sqrt{5}$x，
∵∠EAF=∠∠MBE=45°，
∠BEM=∠AEF，
∴△AEF∽△BME，
∴$\frac{EF}{EM}=\frac{AF}{BM}$，即$\frac{EF}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}x}{x}$，
∴EF=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．