Question

19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，E在弧AD上一点．
（1）若∠C=110°，求∠E的度数；
（2）若∠E=∠C，求证：△ABD为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的对角互补可得出∠BAD，再由AB=AD，得出由圆内接四边形的对角互补即可得出∠E的度数；
（2）根据圆内接四边形的对角互补的性质，可得出∠BAD=∠C，∠E=∠ABD，再由已知条件∠E=∠C，得出∠BAD=∠ABD，从而得出：△ABD为等边三角形．

解答 解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=110°，
∴∠BAD=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=55°，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠ABD+∠E=180°，
∴∠E=125°；
（2）因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠BAD+∠C=180°，
因为四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
所以∠ABD+∠E=180°，
又因为∠E=∠C，
所以∠BAD=∠ABD，
所以AD=BD，
因为AB=AD，
所以AD=BD=AD，
所以△ABD为等边三角形．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，掌握圆内接四边形的性质：对角互补是解题的关键．