Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE、OD，
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于F，若OF=FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若，求⊙O的半径．

Answer 1

解：如右图所示，连接BD，
（1）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．

（2）答：△ABC的形状是等腰直角三角形．
理由是：∵E、F分别是BC、OC的中点，
∴EF是三角形OBC的中位线，
∴EF∥AB，
DE⊥BC，
OB=OD，四边形OBED是正方形，
连接OE，
OE是△ABC的中位线，OE∥AC，
∠A=∠EOB=45度，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．

（3）设AD=x，CD=2x，
∵∠CDB=∠CBA=90°，∠C=∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴=，
∴=，
x=2，
AC=6，
由勾股定理得：AB==6，
∴圆的半径是3．
答：⊙O的半径是3．
分析：（1）求出∠CDB=90°，推出DE=BE，得到∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，推出∠ODE=90°即可；
（2）连接OE，证正方形DEBO，推出OB=BE，推出∠EOB=45°，根据平行线的性质推出∠A=45°即可；
（3）设AD=x，CD=2x，证△CDB∽△CBA，得到比例式，代入求出AB即可．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质和判定的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．