Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4）．
（1）求线段AC的长及AC的中点坐标；
（2）点D是0A的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可求出AC的长，由点点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4）即可求出AC中点的坐标；
（2）分OP=OD、PD=OD和PO=PD三种情况，结合矩形的性质和勾股定理可求得P点的坐标．

解答 解：（1）∵四边形OABC是长方形，
∴∠AOC=90°，
∵点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{29}$，AC的中点坐标是（5，2）；
（2）∵A（10，0），C（0，4），且四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=10，OC=AB=4，
∵D是OA的中点，
∴OD=5，
当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则有PO=OD=5、PD=OD=5或PO=PD=5，
当PO=OD=5时，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理可求得PC=3，此时P点坐标为（3，4）；
当PD=OD=5时，过P作PE⊥OA于点E，如图1，

在Rt△PED中，PE=OC=4，PD=5，由勾股定理可求得DE=3，且OD=5，则OE=5-3=2，此时P点坐标为（2，4）；
当PO=PD=5时，过P作PF⊥OA于点F，如图2，

在Rt△POF中，PF=4，PO=5，由勾股定理可求得OF=3，则OD=6，与已知矛盾，故该情况不存在；
综上可知点P的坐标为（3，4）或（2，4）．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．