Question

如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
（1）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，点N所经过路径长为

2π

；
（2）线段OA的长为

5

3

π+4

．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据弧长公式以及MN=4，∠NMP=90°，求出即可．
（2）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，
根据sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出

AM

的长，

解答：解：（1）根据MN=4，位置Ⅳ中的MN垂直于数轴，
故纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，点N所经过路径长为：

90π×4

180

=2π；

（2）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
从而

AM

的长为

60π×2

180

=

2π

3

，于是OA的长为π+4+

2π

3

=

5

3

π+4．
故答案为：（1）2π；（2）

5

3

π+4．

点评：本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，根据锐角三角函数得出∠NPH、∠MPA的度数是解题关键．