Question

3．（1）$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{a+b}$+$\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{4{a}^{3}}{{a}^{4}+{b}^{4}}$；
（2）$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+99）（x+100）}$
（3）$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{（1+a）（1+2a）}$+$\frac{1}{（1-a）（1-2a）}$．

Answer 1

分析 （1）根据分式的加法法则，从左向右计算即可；
（2）首先把每个分式化成两个分式相减的形式，计算即可；
（3）把前两个和后两个分别计算，然后再根据分式的加减法法则计算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{a+b}$+$\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{4{a}^{3}}{{a}^{4}+{b}^{4}}$
=$\frac{a+b+a-b}{（a+b）（a-b）}$+$\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{4{a}^{3}}{{a}^{4}+{b}^{4}}$
=$\frac{2a（{a}^{2}+{b}^{2}）+2a（{a}^{2}-{b}^{2}）}{（{a}^{2}-{b}^{2}）（{a}^{2}+{b}^{2}）}$+$\frac{4{a}^{3}}{{a}^{4}+{b}^{4}}$
=$\frac{4{a}^{3}}{{a}^{4}-{b}^{4}}$+$\frac{4{a}^{3}}{{a}^{4}+{b}^{4}}$
=$\frac{4{a}^{3}（{a}^{4}+{b}^{4}）+4{a}^{3}（{a}^{4}-{b}^{4}）}{（{a}^{4}-{b}^{4}）（{a}^{4}+{b}^{4}）}$
=$\frac{8{a}^{7}}{（{a}^{8}-{b}^{8}）}$；
（2）$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+99）（x+100）}$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$
=$\frac{x+100-x}{x（x+100）}$
=$\frac{100}{x（x+100）}$；
（3）$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{（1+a）（1+2a）}$+$\frac{1}{（1-a）（1-2a）}$
=$\frac{1-a+1+a}{（1+a）（1-a）}$+$\frac{（1-a）（1-2a）+（1+a）（1+2a）}{（1+a）（1+2a）（1-a）（1-2a）}$
=$\frac{2}{（1+a）（1-a）}$+$\frac{2+4{a}^{2}}{（1+a）（1-a）（1+2a）（1-2a）}$
=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$+$\frac{2+4{a}^{2}}{（1-{a}^{2}）（1-4{a}^{2}）}$
=$\frac{2（1-4{a}^{2}）+2+4{a}^{2}}{（1-{a}^{2}（）1-4{a}^{2}）}$
=$\frac{4（1-{a}^{2}）}{（1-{a}^{2}）（1-4{a}^{2}）}$
=$\frac{4}{1-4{a}^{2}}$．

点评 本题考查了分式的加减法法则、整体思想方法的运用；熟练掌握分式的加减法法则是解决问题的关键．