Question

如图，在长方形ABCD中，AB=3，线段BC上有动点M，过M作直线MN交AB边于点N，并使得BM=2BN．
（1）当N与A重合时，求BM的长；
（2）在直线AD上是否存在一点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：（1）根据N与A重合时，BN=AB，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠PNM=90°时，求出△APN和△BNM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=BM，AP=BN，然后根据AB=3列出方程计算即可得解；②∠PMN=90°时，过点P作PE⊥BC于E，求出△PME和△MNB全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=BM，BN=ME，再根据BE=BM+ME列式计算即可得解；③∠MPN=90°时，过点M作MF⊥AD于F，求出△APN和△FMP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=MF．

解答：解：（1）N与A重合时，BN=AB=3，
∴BM=2BN=2×3=6；

（2）①∠PNM=90°时，如图1，易得∠ANP=∠BMN，
在△APN和△BNM中，

∠ANP=∠BMN ∠A=∠B=90° PN=MN

，
∴△APN≌△BNM（AAS），
∴AN=BM，AP=BN，
∵BM=2BN，
∴AB=AN+BN=2BN+BN=3，
解得BN=1，
∴AP=1；
②∠PMN=90°时，如图2，过点P作PE⊥BC于E，
易得∠BMN=∠MPE，
在△PME和△MNB中，

∠BMN=∠MPE ∠B=∠PEM=90° PM=MN

，
∴△PME≌△MNB（AAS），
∴PE=BM=3，BN=ME=

1

2

BM=

3

2

，
∴BE=BM+ME=3+

3

2

=

9

2

；
③∠MPN=90°时，如图3，过点M作MF⊥AD于F，
易得∠APN=∠PMF，
在△APN和△FMP中，

∠APN=∠PMF ∠A=∠PFM=90° PM=PN

，
∴△APN≌△FMP（AAS），
∴AP=MF=3，
综上所述，AP=1或

9

2

或3时，△PMN是等腰直角三角形．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．