Question

已知：如图等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC．

（1）求证：BE=AD；
（2）若将△ECD绕点C逆时针方向旋转一个锐角，并延长BE交AD于点F，交AC于点O．求证：BF⊥AD；
（3）在②的条件下，取BE的中点M，取AD的中点N，求∠MNC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）利用“边角边”证明△BEC和△ACD全等，再根据全等三角形对应边相等可得BE=AD；
（2）先求出∠BCE=∠ACD，再利用“边角边”证明△BEC和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠CBE=∠CAD，然后求出∠AFB=∠ACB=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（3）连接MC，根据全等三角形对应角相等可得∠CBE=∠CAD，全等三角形对应边相等可得AD=BE，然后求出BM=AN，再利用“边角边”证明△BMC和△ANC全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，全等三角形对应角相等可得∠BCM=∠ACN，再求出∠MCN=∠ACB=90°，判断出△MCN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答．

解答：（1）证明：在△BEC和△ACD中，

AC=BC ∠ACB=∠ECD=90° EC=DC

，
∴△BEC≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BEC和△ACD中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD EC=DC

，
∴△BEC≌△ACD（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AD；

（3）如图，连接MC，∵△BEC≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，AD=BE，
∵M是BE的中点，N是AD的中点，
∴BM=AN，
在△BMC和△ANC中，

BM=AN ∠CBE=∠CAD AC=BC

，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴CM=CN，∠BCM=∠ACN，
∴∠MCN=∠ACB=90°，
∴△MCN是等腰直角三角形，
∴∠MNC=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各性质与三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．