Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的与边BC，AC分别交于D、E，DF是的切线，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若AE＝4，DF＝3，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解

（2）半径为

【解析】

（1）连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后证明DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；
（2）过O作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质，勾股定理解答即可．

（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，

∴AC//OD
∵DF是的切线

即：DF⊥OD，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF⊥AC；
（2）过O作OG⊥AC，
由垂径定理可知：OG垂直平分AE，
∴∠AGO=90°，AG=2，
由（1）可知：四边形ODFG为矩形，
∴OG=DF=3，

∴在Rt△AGO中，

∴