Question

4．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 （a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）⁰=1，它只有一项，系数为1；（a+b）¹=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）⁴展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；
（2）（a+b）ⁿ展开式共有n+1项，系数和为2ⁿ．
（3）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．

Answer 1

分析 （1）本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）^n-1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）⁴的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）根据题意得出（a+b）ⁿ展开式共有（n+1）项，当a=b=1时，（a+b）ⁿ=2ⁿ即可．
（3）由（1）得出的规律，即可得出结果．

解答 解：（1）根据题意知，（a+b）⁴的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
故答案为：5，1，4，6，4，1
（2）当a=b=1时，（a+b）ⁿ=2ⁿ．
故答案为：n+1，2ⁿ．
（3）根据题意得：（a+b）⁵的展开式为a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

点评 本题考查了完全平方公式、（a+b）ⁿ展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．