Question

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=

1

x

的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是______；
（2）按照图1→图2→图→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是______．（用含n的代数式表示）

Answer 1

（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，
设每一个小正方形的边长为a，
易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

a

a

=1，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=OC，
∴OB=

a

2

，
在Rt△ABP中，PB=2a，
∵AB²+AP²=BP²=4a²，AB=AP，
∴AB=AP=

2

2

a，
∴OA=

3a

2

，
∴P点坐标为（

2a

2

，

3a

2

），
∴

2a

2

•

3a

2

=1，
∴a²=

1

3

；

（2）如图2，同样得到Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

2a

a

=2，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=2OC，
∴OB=

2a

5

，
在Rt△ABP中，PB=3a，
∵AB²+AP²=BP²=9a²，AB=2AP，
∴AB=

3a

5

，AP=

6a

5

∴OA=

5a

5

，
∴P点坐标为（

6a

5

，

5a

5

），
∴

6a

5

•

5a

5

=1，
∴a²=

5

30

；
如图3，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

3a

a

=3，
同理可得a²=

10

84

；
如图4，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

4a

a

=4，
同理可得a²=

17

180

；
∵第1个图每一个小正方形的面积=

1

3

=

2

2×3

=

12+1

1×(1+1)×(2+1)

；
第2个图每一个小正方形的面积=

5

30

=

5

6×5

=

22+1

2×(2+1)×(2×2+1)

；
第3个图每一个小正方形的面积=

10

12×7

=

32+1

3×(3+1)(2×3+1)

；
第4个图每一个小正方形的面积=

17

180

=

17

4×5×9

=

42+1

4×(4+1)(2×4+1)

，
∴第n个图每一个小正方形的面积=

n2+1

n(n+1)(2n+1)

．
故答案为（1）

1

3

；（2）

n2+1

n(n+1)(2n+1)

．