Question

5．如图，在△ABC中，当∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=$\sqrt{3}$，过AB的中点D作DE⊥AC，垂足为点E，点P是直线DE上一动点，连结AP，BP，CD
（1）求证：CE=AE；
（2）若PD=2，求△APB的面积；
（3）若△APB是直角三角形，请直接写出PE的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，然后由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=$\sqrt{3}$，求得AB=2BC=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，根据直角三角形的性质得到CD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，于是求得S_△ADP=$\frac{1}{2}$PD•AE=$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，即可得到结论；
（3）分两种情况：①当∠PBA=90°，根据直角三角形的性质得到PD=2BD=2$\sqrt{3}$，于是求得PE=PD+DE=2$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，②当∠APB=90°，根据直角三角形的性质得到PD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，于是求得PE=PD+DE=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE⊥AC，
∴CE=AE；

（2）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵DE⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$PD•AE=$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△APB=2S_△ADP=3．

（3）解：∵△APB是直角三角形，
∴①当∠PBA=90°，
∵∠PDB=∠ADE=60°，
∴∠BPD=30°，
∴PD=2BD=2$\sqrt{3}$，
∴PE=PD+DE=2$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
②当∠APB=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴PE=PD+DE=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
③当∠BAP=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=60°，
∵AD=BD=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
∴PE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
④当∠APB=90°，
PD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
，综上所述：若△APB是直角三角形，PE的长为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．