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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
    （1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
    （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
    （3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD2+CE2=DE2．
    （4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得到∠BAE=∠CDA，再根据∠B=∠C=45°得到△ABE∽△DCA；
    （2）根据△ABE∽△DCA得到，然后代入AC和AB即可得到两个变量之间的关系；
    （3）当BE=CD，即m=n时，由m=，得到m、n的值，然后表示出DE、BD和CE，平方后即可证得结论；
    （4）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，利用旋转不变性得到CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．然后连接HD，证得△EAD≌△HAD，从而得到DH=DE，再根据
    ∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，利用勾股定理得到BD2+HB2=DH2，从而证得BD2+CE2=DE2；
    解答：解：（1）△ABE与△DCA会相似，
    理由是∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
    ∴∠BAE=∠CDA   …（2分）
    又∵∠B=∠C=45°
    ∴△ABE∽△DCA；

    （2）∵△ABE∽△DCA，
    ∴
    由题意可知CA=BA=
    ∴，
    ∴m=（1＜n＜2）；

    （3）当BE=CD，即m=n时，
    由m=，得m=n=
    ∴DE=BE+CD-BC=2-2，
    ∴BD=BE-DE=2-=CE，
    ∵BD2+CE2=2BD2=2（2-）2=12-8，DE2=（2-2）2=12-8
    ∴BD2+CE2=DE2 ；

    （4）成立
    证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
    ∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
    连接HD，在△EAD和△HAD中
    ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
    ∴△EAD≌△HAD   
    ∴DH=DE
    又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° 
    ∴BD2+HB2=DH2，
    即BD2+CE2=DE2．
    点评：本题考查了相似三角形及全等三角形的判定和性质，另外还涉及到了勾股定理和旋转的性质，综合性比较强，难度中等偏上．
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    相交
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠ADE=90°，若△ABC固定不动，△ADE绕点A旋转，AD、AE与边BC的交点分别为F、G（点G不与点B重合，点F不与点C重合）．
    （1）图中共有
     
    对相似三角形．（△ABC∽△DEA外）
    （2）请选其中的一对说明理由．
    （3）若等腰直角三角形的斜边长为2，BF=m，CG=n、求m与n的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围．

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    如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
    （1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
    （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
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    （4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    按要求作图：
    如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在同一平面内有A、B、C三个点，根据要求画图：
    （1）作射线AB，直线AC，连接BC；
    （2）过B作AC的垂线段BD，垂足为D；
    （3）延长线段CB．

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