Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．

（1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．

 

Answer 1

（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，

∴∠CMN=∠CNM，

∴CM=CN；

（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，

∴MC=3ND=3HC．

∴MH=2HC．

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，CD==2x=4，

∴x=．

∴MH=2．

在Rt△MNH中，MN=．

点评：        此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．