Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE、DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE的长是多少时，四边形CEDF是矩形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）时，四边形CEDF是矩形.

【解析】

(1)先证明△GED≌△GFC，从而可得GE=GF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得结论；

(2)当AE的长是7cm时，四边形CEDF是矩形，理由如下：作AP⊥BC于P，则∠APB =90°，求得BP=3cm，再证明△ABP≌△CDE，可得∠CED=∠APB=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得.

(1)四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BF，

∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD，

∵GD=GC，

∴△GED≌△GFC，

∴GE=GF，

∵GD=GC，GE=GF，

∴四边形CEDF是平行四边形；

(2)当AE的长是7cm时，四边形CEDF是矩形，理由如下：

作AP⊥BC于P，则∠APB=∠APC=90°，

∵∠B=60°，

∴∠PAB=90°-∠B=30°，

∴BP=AB==3cm，

四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDE=∠B=60°，DC=AB=6cm，AD=BC=10cm，

∵AE=7cm，

∴DE=AD-AE=3cm=BP，

∴△ABP≌△CDE，

∴∠CED=∠APB=90°，

又∵四边形CEDF是平行四边形，

∴平行四边形CEDF是矩形，

即当AE=7cm时，四边形CEDF是矩形.