Question

如图，直线AC、BD相交于O，△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，直线EF过点O，交AD、BC于点E、F，证明下列命题：
（1）若OE⊥AD，则BF=CF；
（2）若BF=CF，则OE⊥AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：由三角形AOB与三角形COD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质得到两对边相等，且一对直角相等，利用SAS得到三角形AOD与三角形COB全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ADO=∠BCO，
（1）由OE与AD垂直，且∠AOD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用对顶角相等，等量代换得到∠OCF=∠FOC，利用等角对等边得到OF=CF，同类得到BF=OF，等量代换即可得证；
（2）根据BF=CF，得到OF为直角三角形BOC斜边上的中线，得到OF=BF=CF，利用等边对等角得到∠OCF=∠FOC，利用对顶角相等及等量代换得到∠AOE=∠ODE，根据∠AOE+∠EDO为直角得到∠OED+∠D为直角，即可得证．

解答：证明：∵△AOB与△OCD都为等腰直角三角形，
∴OA=OB，OD=OC，
在△AOD和△BOC中，

OA=OB ∠AOD=∠BOC=90° OD=OC

，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，
（1）∵OE⊥AD，∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=∠AOE+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠AOE，
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OCF=∠FOC，
∴CF=FO，
同理，BF=OF，
∴BF=CF；
（2）∵BF=CF，∠BOC=90°，
∴OF=FC，
∴∠FOC=∠FCO
∵∠FOC=∠AOE，
∴∠AOE+∠OAE=∠OAE+∠ADO=90°，
∴OE⊥AD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．