Question

4．如图所示，已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，点M、N的坐标分别为（0，1）、（0，-1）．
（1）点P是抛物线上的一个动点，判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系；
（2）若经过点M的直线与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的交于A、B，联结NA、NB，探索∠ANM和∠BNM之间的关系，并给出证明过程．

Answer 1

分析 （1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线．
（2）可通过构建相似三角形来求解，过B，A作BR⊥直线y=-1，AH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么BR∥MN∥AH，根据平行线分线段成比例定理可得出BM：MA=RN：NH．（1）中已得出了AM=AH，那么同理可得出BM=BR，那么比例关系式可写成BR：AH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠BNR=∠ANH，根据等角的余角相等，可得出∠BNM=∠ANM．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x₀，$\frac{1}{4}$x²₀），则PM=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x${{\;}_{0}}^{2}$+1；
又因为点P到直线y=-1的距离为，$\frac{1}{4}$x²₀-（-1）=$\frac{1}{4}$x²₀+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．

（2）如图，分别过点A，B作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R，设A（a，$\frac{1}{4}$a²），B（b，$\frac{1}{4}$b²），
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，BM=$\sqrt{{b}^{2}+（\frac{1}{4}{b}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$b²+1，
∵AH=$\frac{1}{4}$a²+1，BR=$\frac{1}{4}$b²+1，
∴AM=AH，BM=BR，
∵AH，MN，BR都垂直于直线y=-1，
所以，AH∥MN∥BR，
于是$\frac{BM}{RN}=\frac{AM}{NH}$，
所以$\frac{BR}{RN}$=$\frac{AH}{HN}$，
因此，Rt△AHN∽Rt△BRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠ANM=∠BNM．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质，平行的性质以及二次函数和一次函数的综合应用．（2）中通过构建相似三角形来求角相等是解题的关键．