Question

4．已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（1+$\frac{k}{2}$）x²+（k+2）x-1=0；方程②：x²+（2k+1）x-2k-3=0．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；
（3）若方程①和②有一个公共根a．求代数式（a²+4a-2）k+3a²+5a的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1+$\frac{k}{2}$≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+$\frac{k}{2}$）×（-1）=0，解得k=-4，则方程②变形为：x²-7x+5=0，然后利用求根公式解此方程；
（2）计算第2个方程的判别式得到△₂=（2k+3）²+4＞0，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，
（ 3）设a 是方程①和②的公共根，利用方程解的定义得到（1+$\frac{k}{2}$）a²+（k+2）a-1=0  ③，a²+（2k+1）a-2k-3=0④，利用（③-④）×2得ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，由④得a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．

解答 解：（1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+$\frac{k}{2}$≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+$\frac{k}{2}$）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k₁=-2，k₂=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
当k=-4时，方程②变形为：x²-7x+5=0，解得x₁=$\frac{7+\sqrt{29}}{2}$，x₂=$\frac{7-\sqrt{29}}{2}$；
（2）∵△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，
∴无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
（ 3）设a 是方程①和②的公共根，
∴（1+$\frac{k}{2}$）a²+（k+2）a-1=0  ③，
a²+（2k+1）a-2k-3=0④，
由（③-④）×2得ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，
由④得：a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
将⑤、⑥代入，原式=ka²+4ak-2k+3a²+5a=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a=5．

点评 本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．