Question

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA＝cm，点B在y轴的正半轴上，OB＝12 cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4 cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2 cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t(0＜t＜6)s．

(1)求∠OAB的度数．

(2)以OB为直径的⊙与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙相切？

(3)写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．

(4)是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△AOB中： 　　tan∠OAB＝ 　　∴∠OAB＝30° 　　(2)如图，连接P，M．当PM与⊙相切时，有∠PM＝∠PO＝90°， 　　△PM≌△PO 　　由(1)知∠OBA＝60° 　　∵M＝B 　　∴△BM是等边三角形 　　∴∠BM＝60° 　　可得∠OP＝∠MP＝60° 　　∴OP＝O·tan∠OP 　　＝6×tan60°＝ 　　又∵OP＝t 　　∴t＝，t＝3 　　即：t＝3时，PM与⊙相切． 　　(3)如图，过点Q作QE⊥x于点E 　　∵∠BAO＝30°，AQ＝4t 　　∴QE＝AQ＝2t 　　AE＝AQ·cos∠OAB＝4t× 　　∴OE＝OA－AE＝－t 　　∴Q点的坐标为(－t，2t) 　　S△PQR＝S△OAB－S△OPR－S△APQ－S△BRQ 　　＝ 　　＝ 　　＝() 　　当t＝3时，S△PQR最小＝ 　　(4)分三种情况：如图． 　　①当AP＝AQ1＝4t时， 　　∵OP＋AP＝ 　　∴t＋4t＝ 　　∴t＝ 　　或化简为t＝－18 　　②当PQ2＝AQ2＝4t时 　　过Q2点作Q2D⊥x轴于点D， 　　∴PA＝2AD＝2AQ2·cosA＝t 　　即t＋t＝ 　　∴t＝2 　　③当PA＝PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H 　　AH＝PA·cos30°＝(－t)·＝18－3t 　　AQ3＝2AH＝36－6t 　　得36－6t＝4t， 　　∴t＝3.6 　　综上所述，当t＝2，t＝3.6，t＝－18时，△APQ是等腰三角形