Question

2．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．

（1）求线段AB的长．
（2）当t为何值时，MN∥CD？
（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC于E，根据直角梯形的性质和勾股定理求出AB的长；
（2）根据MN∥CD，则NM⊥BC，运用∠B的余弦求出时间t；
（3）根据△DMN的面积S=梯形ABCD的面积-△CDM的面积-△BMN的面积-△ADN的面积，代入数据整理即可；
（4）假设存在，经过推理求出时间t．

解答 解：（1）作AE⊥BC于E，
根据题意得，AE=DC=8，EC=AD=6，BE=BC-EC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，AB=10．
（2）若MN∥CD，则NM⊥BC，
$\frac{BM}{BN}$=cosB=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{12-2t}{t}$=$\frac{3}{5}$
解得：t=$\frac{60}{13}$秒．
（3）△DMN的面积S=梯形ABCD的面积-△CDM的面积-△BMN的面积-△ADN的面积
=$\frac{1}{2}$×（6+12）×8-$\frac{1}{2}$×2t×8-$\frac{1}{2}$×（12-2t）×$\frac{4}{5}$t-$\frac{1}{2}$×6×（8-$\frac{4}{5}$t）
=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{13}{2}$）²+$\frac{71}{5}$，
又M从C点运动到B点的时间为6秒，N点从B点运动到A点所需的时间为10秒
依题意，两者取小值6秒，
所以，S=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{13}{2}$）²+$\frac{71}{5}$ （0≤t≤6秒）．
（4）假设存在，则有MN⊥BD，
显然有∠BMN=∠BDC，tan∠BMN=tan∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$，
如图②，过点N作NF⊥BC于F，
依题意可求得NF=$\frac{4}{5}$t，MF=12-2t-$\frac{3}{5}$t
所以，$\frac{NF}{MF}$=$\frac{\frac{4}{5}t}{12-2t-\frac{3}{5}t}$=tan∠BMN=$\frac{3}{2}$，
解得：t=$\frac{180}{47}$＜6秒，符合题意．
所以存在t=$\frac{180}{47}$，使MN⊥BD．

点评 本题是四边形综合题，解答时用到锐角三角函数、二次函数、勾股定理、梯形的有关知识，综合性较强，需要学生熟练运用所学的知识，认真解答．