Question

13．点E、F、G分别在正方形ABCD边AB、AD、BC上．
（1）如图1，若△EFG是直角形，求证：△AEF∽△BGE；
（2）如图2，若△EFG是等边三角形，且点E是AB的中点，求$\frac{BG}{BC}$的值；
（3）如图3，若△EFG是等边三角形，且$\frac{AE}{BE}$=2，AB=a，求$\frac{BG}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△EFG是直角三角形，得到∠FEG=90°，于是得到∠AEF+∠BEG=90°，由于∠BEG+∠BGE=90°，得出∠AEF=∠BGE，在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，于是得到结论；
（2）由△EFG是等边三角形，点E是AB的中点，∠A=∠B=90°，得到R_t△AEF≌R_t△BEG，求出∠AEF=∠BEG=60°，∠BGE=30°，得到EG=2BE=AB，即可得到结论；
（3）如图3，作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，得到∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，于是得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，推出△ABK是等边三角形，作KM⊥AB，则M为AB的中点，EB=$\frac{1}{3}$a，MB=$\frac{1}{2}$a，求出EM=$\frac{1}{6}$a，MK=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根据勾股定理得到EK=$\sqrt{{ME}^{2}{+MK}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$a，推出EG=$\frac{EK}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{21}}{9}a$，求出BG=$\sqrt{{EG}^{2}{-BE}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}a$，问题可得．

解答 （1）证明：∵△EFG是直角三角形，
∴∠FEG=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠AEF=∠BGE，
∵在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE；

（2）解：∵△EFG是等边三角形，
∴EF=EG=FG，
∵点E是AB的中点，∠A=∠B=90°，
在R_t△AEF与R_t△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEF≌R_t△BEG，
∴∠AEF=∠BEG=60°，
∴∠BGE=30°，
∴EG=2BE=AB，
∴BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）解：如图3，作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，
∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，
∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°，
∴△ABK是等边三角形，
作KM⊥AB，则M为AB的中点，EB=$\frac{1}{3}$a，MB=$\frac{1}{2}$a，
∴EM=$\frac{1}{6}$a，MK=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴EK=$\sqrt{{ME}^{2}{+MK}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$a，
∴EG=$\frac{EK}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{21}}{9}a$，
∴BG=$\sqrt{{EG}^{2}{-BE}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}a$，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．