在△ABC中.∠ABC＝45°.tan∠ACB＝．如图.把△ABC的一边BC放置在x轴上.有OB＝14.OC＝.AC与y轴交于点E．(1)求AC所在直线的函数解析式,(2)过点O作OG⊥AC.垂足为G.求△OEG的面积,.在△ABC的边上取两点P.Q.是否存在以O.P.Q为顶点的三角形与△OFP全等.且这两个三角形在OP的异侧?若存在.请求出所有符合条件的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝

．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝

，AC与y轴交于点E．

(1)求AC所在直线的函数解析式；
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝

，∴点E(0，

。
设直线AC的函数解析式为y＝kx＋

，有

，解得：k＝

。
∴直线AC的函数解析式为y＝

。
(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝

，
设EG＝3t，OG＝5t，

，∴

，得t＝2。
∴EG＝6，OG＝10。∴

/
(3) 存在。
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₁，
由△OP₁F≌△OP₁Q，则有P₁F⊥x轴，
由于点P₁在直线AC上，当x＝10时，
y＝

∴点P₁(10，

)。
②当点Q在AB上时，如图2，

有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₂，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，
则BH＝QH＝14－a，
在Rt△OQH中，a²＋(14－a)²＝100，
解得：a₁＝6，a₂＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。
连接QF交OP₂于点M．
当Q(－6，8)时，则点M(2，4)；当Q(－8，6)时，则点M(1，3)。
设直线OP₂的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。∴y＝2x。
解方程组

，得

。
∴P₂(

)；
当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P₂′(

)。
综上所述，满足条件的P点坐标为
(10，

)或(

)。

(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。
(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可。

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