Question

如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H.

（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想：PH与BE有什么数量关系？并证明你猜想的结论.

Answer 1

(1)2（2），证明见解析

解: (1)过作于　　
矩形
，即，又
　　………………1分
是等边三角形

在中

 
的边长为．　　……………………………3分
与的数量关系是：………4分
在中，

　　…………………………………5分
是等边三角形
　　……………………………6分



　　…………………………………………8分

 ……………………………………………9分
（1）要求△PEF的边长，需构造直角三角形，那么就过P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的边长；
（2）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度数，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化简即可．