Question

2、设p（≥5）是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．

Answer 1

分析：先根据P是大于3的质数求出P的表达式，再分p=3k+1和p=3k+2两种情况进行讨论，找出符合条件的P的表达式即可．

解答：证明：由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数．
若p=3k+1，则2p+1=2（3k+1）+1=3（2k+1），是合数，与题设矛盾；
所以p=3k+2，这时4p+1=4（3k+2）+1=3（4k+3）．
所以4p+1是合数．

点评：本题考查的是质数与合数的概念，能根据题意求出P的表达式是解答此题的关键．