Question

伽菲尔德（ Garfield，1881年任美国第20届总统）利用“三个直角三角形的面积和等于一个直角梯形的面积”（如图所示）证明了勾股定理，请你应用此图证明勾股定理．

Answer 1

分析：以a，b长为上下底边，以a+b长为高，作梯形ABDE，即AB⊥BD，ED⊥BD，AB=a，ED=b，在其高BD上再取一点C，使BC=b，连结AC，EC，求出△ACE是等腰直角三角形，根据梯形面积公式求出梯形面积，根据三角形面积公式求出梯形面积，即可得出等式，即可得出答案．

解答：证明：如图，以a，b长为上下底边，以a+b长为高，作梯形ABDE，
即AB⊥BD，ED⊥BD，AB=a，ED=b，在其高BD上再取一点C，使BC=b，连结AC，EC，
在△ABC和△CDE中，

AB=CD ∠B=∠D BC=DE

，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴AC=CE，∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，设AC=c，
由梯形ABDE的面积公式得：SABDE=

1

2

(AB+ED)?BD=

1

2

(a+b)(a+b)=

1

2

(a+b)2，
梯形ABDE可分成如图所示的三个直角三角形，其面积又可以表示成：S_△ABC+S_△CDE+S_△ACE=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c2，
∴

1

2

(a+b)2=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c2，
∴a²+b²=c²．
即在直角△ABC中有a²+b²=c²（勾股定理）．

点评：本题考查了梯形面积，等腰直角三角形的性质和判定，三角形面积，全等三角形的性质和判定的应用，关键是能构造出能证出勾股定理的图形．