Question

已知关于x的方程①x²-（1-2a）x+a²-3=0有两个不相等的实数根，且关于x的方程②x²-2x+2a-1=0没有实数根，问a取什么整数时，方程①有整数根．

Answer 1

分析：若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；
关于x的方程②x²-2x+2a-1=0没有实数根，则根的判别式△=b²-4ac＜0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；
解关于a的不等式组，再求a的范围．

解答：解：∵方程①有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=[-（1-2a）]²-4×（a²-3）=13-4a＞0，
解得：a＜

13

4

，
又∵方程②没有实数根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4×1×（2a-1）=8-8a＜0，
解得：a＞1，
∴a取的整数值有2，3，
当a=2时，方程①变为x²+3x+1=0，无整数实根；
当a=3时，方程②变为x²+5x+6=0，有整数实根．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．