Question

矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，若∠1=∠2=∠3=∠4．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形EFGH的周长．

Answer 1

考点：矩形的性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）先求出∠HEF=∠FGH，再求出∠EFG=∠EHG，然后判定四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的对边相等可得EF=HG，FG=EH，然后得到△BEF和△DGH全等，△AEH和△CGF全等，根据全等三角形对应边相等可得HD=BF，BE=DG，再根据△AEH和△BEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出其比值，设AE、AH分别为6k、8k，根据勾股定理求出EH，再表示出BE、BF，根据勾股定理表示出EF，然后EF+EH正好消掉k，再根据平行四边形的周长公式列式进行计算即可得解．

解答：（1）证明：∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠HEF=180°-∠3-∠4，∠FGH=180°-∠1-∠2，
∴∠HEF=∠FGH，
又∵∠EFG=180°-（90°-∠4）-（90°-∠2）=∠2+∠4，
∠EHG=180°-（90°-∠3）-（90°-∠1）=∠1+∠2，
∴∠EFG=∠EHG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）易得△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，
∴HD=BF，BE=DG，
∵∠3=∠4，∠A=∠B=90°，
∴△AEH∽△BEF，
∴

AE

BE

=

AH

BF

，
即

AE

6-AE

=

AH

8-AH

，
整理得，

AE

AH

=

3

4

设AE、AH分别为6k、8k，在Rt△AEH中，EH=10k，
在Rt△BEF中，EF=10（1-k），
∴EF+EH=10（1-k）+10k=10，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×10=20．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及平行四边形的判定与性质，求出

AE

AH

=

3

4

是解题的关键，也是本题的难点．