Question

如图，在△ABC中，CA=CB，O为外心，I为内心，D为BC上的点，且BI⊥DO．
（1）证明：B、I、O、D四点共圆；
（2）证明：ID∥AC．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：（1）延长CO交AB于E，如图1，根据等腰三角形的性质和外心的性质得到CE⊥AB，则∠ACE=∠7，再利用内心的定义可判断点I在CE上，根据内心的性质得∠3=∠CBI，由BI⊥DO得到∠1+∠4=90°，利用等角的余角相等可证得∠1=∠3，则∠1=∠CBI，然后根据邻补角的定义得到∠1+∠DOI=180°，所以∠DBI+∠DOI=180°，于是可根据四点共圆的判定方法得到B、I、O、D四点共圆；
（2）连接BO，如图2，根据圆周角定理得∠2=∠6，再利用点O为外心得OC=OB，则∠7=∠OBC，利用三角形外角性质得∠6=2∠7，而∠7=

1

2

∠ACB，所以∠2=∠ACB，于是根据平行线的判定定理得到ID∥AC．

解答：证明：（1）延长CO交AB于E，如图1，
∵CA=CB，O为外心，
∴CE⊥AB，
∴AE平分∠ACB，即∠ACE=∠7，
∵I为内心，
∴点I在CE上，BI平分∠ABC，
∴∠3=∠CBI，
∵BI⊥DO，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠CBI，
而∠1+∠DOI=180°，
∴∠DBI+∠DOI=180°，
∴B、I、O、D四点共圆；
（2）连接BO，如图2，
∵B、I、O、D四点共圆，
∴∠2=∠6，
∵点O为外心，
∴OC=OB，
∴∠7=∠OBC，
∴∠6=2∠7，
而∠7=

1

2

∠ACB，
∴∠2=∠ACB，
∴ID∥AC．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握三角形内心与外心的性质、圆周角定理、四点共圆的判定方法和等腰三角形的性质；会运用平行线的判定定理证明两直线平行．