精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图①,在凸四边形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.
(1)如图②,若连接AC,则△ADC的形状是
等边
等边
三角形.你是根据哪个判定定理?
答:
一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形
一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形
.(请写出定理的具体内容)
(2)如图③,若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE,并连接AE,请问:BD与AE相等吗?若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由.
(3)在第(2)题的前提下,请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由.
分析:(2)通过全等三角形的判定定理SAS证得△BDC≌△EAC,然后根据全等三角形的对应边相等推知BD=EA;
(3)要证明BD2=AB2+BC2,只需证明△ABE是直角三角形即可(BD=AE).
解答:解:(1)∵在△ADC中,AD=AC,
∴△ADC是等腰三角形,
又∵∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形(一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形);
故答案是:等边;一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形;

(2)∵由(1)知,△ADC是等边三角形,
∴DC=AC,∠DCA=60°;
又∵△BCE是等边三角形,
∴CB=CE,∠BCE=60°,
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB,即∠DCB=∠ACE,
∴△BDC≌△EAC(SAS),
∴BD=EA(全等三角形的对应边相等);

(3)证明:∵由(2)知,△BCE是等边三角形,则BC=CE,∠CBE=60°.
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE2=AB2+BE2
又∵BD=AE,
∴BD2=AB2+BC2
点评:本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理.如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形为等边三角形:①三边长度相等;②三个内角度数均为60度;③一个内角为60度的等腰三角形.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC=MD,分别过C,D两点,作边BC,AD的垂线,设两条垂线的交点为P.
求证:∠PAD=∠PBC.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,E是凸四边形ABCD的对角线交点,F在BC边上,AB∥CD∥EF,△BCE面积为S,则图中面积为S的三角形的个数是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图①,在凸四边形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.
(1)如图②,若连接AC,则△ADC的形状是______三角形.你是根据哪个判定定理?
答:______.(请写出定理的具体内容)
(2)如图③,若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE,并连接AE,请问:BD与AE相等吗?若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由.
(3)在第(2)题的前提下,请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图①,在凸四边形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.
(1)如图②,若连接AC,则△ADC的形状是______三角形.你是根据哪个判定定理?
答:______.(请写出定理的具体内容)
(2)如图③,若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE,并连接AE,请问:BD与AE相等吗?若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由.
(3)在第(2)题的前提下,请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由.

精英家教网

查看答案和解析>>

同步练习册答案