Question

如图①，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．
（1）如图②，若连接AC，则△ADC的形状是______三角形．你是根据哪个判定定理？
答：______．（请写出定理的具体内容）
（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．
（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD²=AB²+BC²成立的理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ADC中，AD=AC，
∴△ADC是等腰三角形，
又∵∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形（一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形）；
故答案是：等边；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；

（2）∵由（1）知，△ADC是等边三角形，
∴DC=AC，∠DCA=60°；
又∵△BCE是等边三角形，
∴CB=CE，∠BCE=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即∠DCB=∠ACE，
∴△BDC≌△EAC（SAS），
∴BD=EA（全等三角形的对应边相等）；

（3）证明：∵由（2）知，△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE²=AB²+BE²．
又∵BD=AE，
∴BD²=AB²+BC²．
分析：（2）通过全等三角形的判定定理SAS证得△BDC≌△EAC，然后根据全等三角形的对应边相等推知BD=EA；
（3）要证明BD²=AB²+BC²，只需证明△ABE是直角三角形即可（BD=AE）．
点评：本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：①三边长度相等；②三个内角度数均为60度；③一个内角为60度的等腰三角形．